Question

1/1+x^4不定积分是什么？

Answer 1

具体回答如下：

令u=x⁴，du=4x³ dx。

原式

= ∫ 1/[x*(1+u)] * du/(4x³)

= (1/4)∫ 1/[u(u+1)] du

= (1/4)∫ (u+1-u)/[u(u+1)] du

= (1/4)∫ [1/u - 1/(u+1)] du

= (1/4)(ln|u| - ln|u+1|) + C

= (1/4)ln|x^4| - (1/4)ln|x^4+1| + C

= ln|x| - (1/4)ln(x^4+1) + C

不定积分的意义：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。