求曲线积分 20
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由x^2+y^2=4y①设x=2cost,y=2+2sint,
把①代入x^2+y^2+z^2=6y,得z^2=2y=4+4sint,z=2√(1+sint)
dx=-2sintdt,dy=2costdt,dz=costdt/√(1+sint)
x^2+y^2-z^2=4y,y^2+z^2-x^2=6y-2x^2,z^2+x^2-y^2=6y-2y^2
原式=∫<0,2π>(4+4sint)(-2sint)dt+[6(2+2sint)-2(2cost)^2]*2costdt+[6(2+2sint)-2(2+2sint)^2]*costdt/√(1+sint)
=4∫<0,2π>[-2sint-2sin^t+(6+6sint-4cos^t)cost]dt+[3√(1+sint)-2(1+sint)^(3/2))]d(1+sint)
=4∫<0,2π>[-2sint-1+cos2t)dt+[2+6sint+4sin^t)]d(sint)+[3√(1+sint)-2(1+sint)^(3/2))]d(1+sint)
=4×{-2π}
=-8π。
仅供参考。
把①代入x^2+y^2+z^2=6y,得z^2=2y=4+4sint,z=2√(1+sint)
dx=-2sintdt,dy=2costdt,dz=costdt/√(1+sint)
x^2+y^2-z^2=4y,y^2+z^2-x^2=6y-2x^2,z^2+x^2-y^2=6y-2y^2
原式=∫<0,2π>(4+4sint)(-2sint)dt+[6(2+2sint)-2(2cost)^2]*2costdt+[6(2+2sint)-2(2+2sint)^2]*costdt/√(1+sint)
=4∫<0,2π>[-2sint-2sin^t+(6+6sint-4cos^t)cost]dt+[3√(1+sint)-2(1+sint)^(3/2))]d(1+sint)
=4∫<0,2π>[-2sint-1+cos2t)dt+[2+6sint+4sin^t)]d(sint)+[3√(1+sint)-2(1+sint)^(3/2))]d(1+sint)
=4×{-2π}
=-8π。
仅供参考。
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