Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），

过点E（a^2/c,0）的直线与椭圆交于点A、B两点，且F1A//F2B，|F1A|=2|F2B|。
求椭圆的离心率？
请问，怎样判断E点的位置？

Answer 1

解析：
由题意椭圆的右准线方程可写为：x=a²/c
由此可知点E(a²/c,0)是右准线与x轴的交点
在△AF1E中，F1A//F2B
则|F2B|/|F1A|=|EF2|/|EF1|
因为|F1A|=2|F2B|，|EF2|=a²/c -c，|EF1|=a²/c +c
所以(a²/c -c)/(a²/c +c)=1/2
即a²/c +c=2(a²/c -c)
a²/c =3c
则c²/a²＝1/3
所以椭圆的离心率为e=c/a=√3/3

追问

很感谢您能帮我，我还想请教的是:为什么|EF2|=a²/c -c？

追答

因为点E的横坐标是a2/c，而右焦点F2的横坐标是c，所以：
两点间的距离|EF2|=a2/c -c （点E在点F2右侧）

追问

我还是想问，为什么点E在点F2右侧？

追答

点E（a^2/c,0）在右准线上啊！右准线在椭圆的右侧，显然可知：点E在点F2右侧