Question

已知f(x)=lg(x+√(x^2+1)，求定义域、值域，奇偶性，并证明在定义域内为单调递增函数，求反函数

Answer 1

f(x)=lg(x+√(x^2+1)
定义域即x+√(x^2+1）>0
因为√(x^2+1）>|x|
所以x+√(x^2+1）>0恒成立
定义域是R。
值域也是R。

f(-x)=lg(-x+√((-x)^2+1)
=lg(√(x^2+1)-x)
=lg(1/(√(x^2+1)+x))
=-lg(x+√(x^2+1）)
=-f(x)
为奇函数

y=lgx是定义域上增函数，f(x)=lg(x+√(x^2+1)的单调性与y=x+√(x^2+1)一致，
y=x+√(x^2+1)
y'=1-x/√(x^2+1)=(√(x^2+1)-x)/√(x^2+1)>0
y=x+√(x^2+1)是定义域上增函数
所以f(x)=lg(x+√(x^2+1)是增函数