Question

数列有界和收敛的关系是什么？

Answer 1

数列有界是数列收敛的条件是必要而不充分条件。

无界数列一定发散，所以有界是收敛的必要条件，但是有界数列不一定收敛。显然是有界的，但也是发散的。所以有界不是收敛的充分条件。有界数列是指任一项的绝对值都小于等于某一整数的数列。

有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。若数列Xn满足：对一切n有Xn≤M 其中M是与n无关的常数称数列Xn上有界并称M是他的一个上界，对一切n有Xn≥m其中m是与n无关的常数称数列Xn下有界并称m是他的一个下界。

数列Xn如果存在常数a，对于任意给定的正数q，总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列Xn收敛于a，即数列Xn为收敛数列，如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限，收敛数列与其子数列间的关系。