Question

a的转置乘以a有什么性质？

Answer 1

A是正交矩阵，正交矩阵的性质为：每一个行（或列）向量都是单位向量，且任两个行（或列）向量正交（即内积为零）。

反过来，如果这种性质的矩阵一定是正交矩阵。

通常用这个性质作为判别正交矩阵的一个标准。

直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。

一个矩阵M，把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，最末一行变为最末一列，从而得到一个新的矩阵N。

这一过程称为矩阵的转置即矩阵A的行和列对应互换。

等于A的秩，推理如下：

1、用A'表示A的转置，要证明r(A'A)=r(A)，只需证明方程组AX=0和A'AX=0同解。

2、如果AX=0，两边分别左乘A'，得A'AX=0，这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解。