Question

已知α、β≠kπ+π/2（k∈Z），且sinθ+cosθ=2sinα，① sinθcosθ=sin^2α

已知α、β≠kπ+π/2（k∈Z），且sinθ+cosθ=2sinα，① sinθcosθ=sin^2α.② 求证：(1-tan^2α)/(1+tan^2α)=(1-tan^2β)/(2[1+tan^2β])

Answer 1

要证(1-tan^2α)/(1+tan^2α)=(1-tan^2β)/(2[1+tan^2β])
即证(cos^2α-sin^2α)/(cos^2α+sin^2α)=(cos^2β-sin^2β)/[2(cos^2β+sin^2β)]
亦即1-2sin²α=(1/2)(1-2sin²β)
4sin²α-2sin²β=1
已知sinβ+cosβ=2sinα ①
sinβcosβ=sin^2α ②
①²-4②得 (cosβ-sinβ)²=0
所以sinβ=cosβ ③
平方sin²β=cos²β=1-sin²β
所以sin²β=1/2 ④
代入② 求得sin²α=sin²β=1/2
所以4sin²α-2sin²β=2sin²α=2*(1/2)=1
成立
得证