Question

抽象函数值域几种方法

比如分离常数法 方法详细点 谢谢了

Answer 1

●求抽象函数值域不能用常规方法
抽象函数是指没有给出解析式的函数，只给了函数应满足的性质。因为没有解析式，不能用求具体函数的常规的求值域的方法。如配方法、分离常数法等等。
●常用结论
常用的非常有用的几个结论：
若f(x)在[a,b]上是增函数，则f(x)的值域为[f(a),f(b)].
若f(x)在[a,b]上是减函数，则f(x)的值域为[f(b),f(a)].
若f(x)值域为[a,b],则f(x+t)值域也为[a,b].(因为左右平移不改变值域）
若f(x)值域为[a,b],则f(x）+t值域为[a+t,b+t].(因为上下平移|t|个单位，值域改变量t）
若f(x)值域为[a,b],则Mf(x)值域为[Ma,Mb](M>0),或[Mb,Ma](M<0).
●例题
定义在R上的函数f (x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),当x<0时,f(x)>0，则求函数f (x)在[a，b]上的值域。
分析 这个函数的模型是正比例函数f(x)=kx( k≠0),可以猜想出：①f(0)=0; ②当x<0时,f(x)>0,则x>0,f(x)<0;③减函数；④奇函数等等。而这些都可以通过f(x+y)=f(x)+f(y)得到证明。
猜想与已知对接，知道从③减函数入手。
解答 设u<v
f(u)-f(v)
=f((u-v)+v)-f(v)
=f(u-v)+f(v)-f(v)
=f(u-v)>0(u-v<0)
f(u)>f(v)
f(x)在R上单减
f max=f( a)
f min=f(b)
∴f(x)在在[a，b]上的值域[f(b),f(a)]。
●链接
值域的求法有十多种。难点是根据不同的解析式的形式，选择合适的方法。
请您参考我的BLOG
函数ok系列之七 函数的值域问题及解法
http://hi.baidu.com/ok%B0%C9/blog/item/524c45f192f6a1c47931aaa8.html

Answer 2

1.观察法：对一些简单函数通过定义域及对应法则用观察法确定值域。
2.分离常数法：注意到分式的分子分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
3.逆求法：求出反函数，利用定义域求出值域。
4.配方法：对一元二次函数使用。
5.换元法：对一些带根式的无理函数时用，通过代换化为无理函数。
6.单调性法：对单调性相同的多个函数组成的复合函数使用。
7.判别式法：若一个有理函数式可化为关于自变量的一元二次方程，利用判别式大于等于零求值域。
8.图像法：适合图像易画的函数。例如分段函数、一元二次函数。