Question

无穷大有多大

Answer 1

上次我们讨论了无穷小有多小的问题，最终得出结论——无穷小不是0，它是根据极限的定义得出的。接下来我们需要讨论的就是无穷小的反面——“无穷大”。

简单起见，我们先讨论简单的无穷大——无穷大数。我们先来看一个与之相关的故事—— 希尔伯特旅馆 ，可能大部分人都听过这个故事。

这是著名数学家大卫 希尔伯特在谈到“无限大数”的性质时做出的假设：故事是这样的——有一位旅客来到一家有有限间房间的旅馆，想要住店，但是这家旅馆已经满客了。于是旅客只能换到另外一家旅店，这家拥有无限个房间的旅馆也满客了，不过店主说：没问题。于是1号房间的客人被移到2号房间，2号房间的客人被移到3号，3号被移到4号.........以此类推，于是1号房间就被空出来了。可是过了一会，又来了无穷位客人想要住店，“请稍等”，店主说，于是他让1号房间的客人一道2号房间，2号房间的客人移到4号......n号房间的客人移到2n号，这样就把所有的奇数房间空出来了，客人们就都住进去了。

从这个看似荒诞的希尔伯特旅馆中，我们貌似得到了一些结论——无穷多减少或者增加一两个数字还是无穷多，正整数和其中的偶数的个数是“一样”的。一般来说1.变化之后和之前是不相等的。2.部分是不等于整体的。但是这两件事在“无穷”这一概念上貌似不再适用。

引出了 无穷大 这一概念，我们不禁要问：所有的无穷大都是一样的吗？“无穷大”这一概念和我们所学过的有限数之间的性质有什么不同呢？这里就涉及到集合论的知识了。

首先我们来定义一个集合的基数。简单来说，基数就是一个集合中包含的元素的个数。譬如空集的基数是0，{1，2，3}的基数是3。对于有限集，基数这一概念是很简单的事情。那么对于无限集呢？

我们先来讨论一个简单的无限集——自然数集{0，1，2，3，4.......}。显然这是一个无限集，因此不能用一般的数来表示这个集合的基数，而是用一个希伯来字母加下标 来表示，读作阿列夫零。也就是说自然数集的基数是 。在集合论那一篇文章中，我们已经提到，如果两个集合之间存在双射(一一对应)，我们就称这两个集合是等价的。我们很容易构造从自然数集到正整数集或偶数集的双射，因此显而易见，正整数集，偶数集都是与自然数集是等价的，也就是说他们的基数都是 。而我们把所有和自然数集合等价的集合称为可数集(这种无穷叫做可数无穷)。

到这里大家应该意识到了，无穷既然有可数无穷(和自然数集等价)，那么自然有“不可数无穷”。就是说这个集合虽然有无限个元素，但是这个集合与自然数集不等价。一个简单的例子就是实数集 ，它和自然数集是不等价的，他的基数称为 ,读作阿列夫1。当然还有其他的各种“无穷”，我们这里也不再细说。

简单的来说，无穷大并不是一个简单的“数”，它是一个极限的概念。正如我们上次提到的无穷小不是0一样。