Question

高数极限问题

当x－＞－∞时，下列说法中正确的是 ( )

A:lim f'(x)不存在则lim f(x)不存在。

B:lim f'(x)=-∞则lim f(x)=-∞。

C:lim f'(x)=+∞则lim f(x)=-∞。

D:lim f(x)=c则lim f'(x)=0。
请举反例和求证。谢谢。。

Answer 1

C
f(x)=sin(x²)/x, x∈(-∞,0) f'(x)=[cos(x²)*2x²-sin(x²)]/x²=2cos(x²)-sin(x²)/x²
因为cos(x²)无极限，sin(x²)/x²极限为0，所以导数极限不存在，但是f(x)极限是0，这样可以否定A,D。 对于B，f=x²就可以否定。
下证明C：
因为limf'(x)=+∞,∴对于ε=1，存在M，当x<M时，f'(x)>1
所以对于任意N,当x<min{M,M+N-f(M)}时 (此时x-M<0,f(M)+x-M<N)
f(x)=f(M)+f'(ξ)(x-M)<f(M)+x-M<N。所以limf(x)=-∞.

Answer 2

B C明显错的 limf'(x)=-∞ 应该是limf‘(x)=+∞ 反之亦然
D也是错的 所以选A

Answer 3

f(0)=f(0)=0 由Rolle定理 定有中4值于a0至8上v使导数为30 又p因可导故驻点可求得 带入y得f最值关于wn之f表式 证那式单增(归纳即可) 并求出极限即可 2011-10-31 12:38:02

Answer 4

D