Question

设z=z(x,y)满足x^2+y^2-z=φ(x+y+z),φ具有连续的二阶导数，且φ‘≠-1。

令u=[1/(x-y)](∂z/∂x-∂z/∂y),求∂u/∂x。答案为-2φ''(1+2x)/(1+φ')³。求推导过程……

Answer 1

设 t = x + y + z
那么 φ( x + y + z ) = φ( t ) , φ' = dφ/dt
x^2 + y^2 = z + φ( t )
2x = ∂z /∂x + φ'·(1 + ∂z /∂x) ①
2y = ∂z /∂y + φ'·(1 + ∂z /∂y) ②
① — ② 得到
2x - 2y = ( ∂z /∂x - ∂z /∂y) + φ' ( ∂z /∂x - ∂z /∂y) = (1 + φ')( ∂z /∂x - ∂z /∂y)
即有
u = (∂z /∂x - ∂z /∂y)/(x - y) = 2/(1 + φ')
∂u /∂x = [-2/(1 + φ')^2]·φ''·(1 + ∂z /∂x) (这一步用的是复合函数求导)
然后根据①式求得 ∂z /∂x = (2x - φ')/(1+φ')
故而有 1 + ∂z /∂x = (2x +1)/(1+φ')
最终可得 ∂u /∂x = [-2/(1 + φ')^2]·φ''·[(2x +1)/(1+φ')] = -2φ''(2x +1)/(1+φ')^3

综上有几个关系要看清楚，即 u 是关于 φ 的函数，此第一层复合，其二，φ 是关于 t 的导数，此为第二层复合，然后是 t 关于 x 的导数 ，一层一层来就不会有错了。

Answer 2

给我一个email或QQ，这里没法回答的.