Question

线性代数 正定阵判断

A的伴随阵与A的逆阵为什么可以正定互推 即当其中一个正定则另一个正定
了 是李永乐错了 伴随正定推不出逆正定的 谢谢大家的回答

Answer 1

正定的一个充分必要条件是：所有特征值均为正数， 必要条件是：|A|＞0
设有Aα=λα
变换有A^（-1）·α=1/λ ·α (1)
继续变换有 A*α=|A|/λ·α (2)
又上面可知：A^（-1）的特征值为：1/λ＞0
A*的特征值为：|A|/λ＞0
利用第一条充要性证明
补充

（1）若A逆正定，λ＞0，则A正定，则|A|＞0，|A|/λ＞0，得出A伴随正定。
（2）若A伴随正定，则|A*|＞0，|A|^（n-1)＞0，则|A|＞0，反带回去，得到λ只能大于0，
λ＞0，则A逆正定。
结合的上面的看

追问

|A|^（n-1)＞0，则|A|＞0 这个怎么能推出来？ x^n-1大于0能推出X大于0吗 当n-1为偶数 X不是可以取一对相反数么

追答

推不出来了，你这个是在哪点看到的？我看的书，没总结啊。
即使把前提对称用进去也感觉无法啊？？，
感觉A伴随推A逆这正负，真心确定不了

Answer 2

因为A*=A^1*|A|
具体证明你可以看逆矩阵那块。
我晕- -/
A的伴随等于A的逆乘以|A|。（|A|是A的行列式，是一个数）
一个正定了，另一个就正定了啊。

Answer 3

好题，待我看看。