Question

水手分椰子类型题

Answer 1

序,“水手分椰子”是趣味数学题”水手、猴子和椰子”的习惯简称，在中国被改为（五猴分桃）这是一个世界著名的趣味数学题，于1926年,首先刊登在美国的《星期六晚邮报》上，据说,最早是由伟大物理学家狄拉克提出来的，这一貌似简单的问题曾困扰住了他，为了获得简便的计算方法，他把问题提交给当时的一些数学家，有意思的是，竟然也没有得到满意的结果，1979年，诺贝尔物理学奖获得者，李政道博士在”中国科技大学”讲学时歼衫，特地提到此题；自此以后，研究该题的简易计算方法，迅速风靡国内。

曾对“水手分椰子”的广泛流传起过重要作用的, 著名现代数理逻辑学家怀德海,对此题给出过一个答案为(-4)巧妙的特解。近几十年来, 在一些后来者的不断努力下，该问题的求解方法研究，也逐步的有了一些氏亩腔进展。但严格的来说：到目前为止所取得的成果，基本上还是局限于“五猴分桃”这一个具体题目上,离简便而又全面的求解所有这种类型的题目，还存在着较大的距离。

1979年，本人有幸在月刊《中国青年》看到了，中国式的水手分椰子“五猴分桃”一题，并用不定方程求得其解。随后演算推导出能解决这种类题型的通解公式: y=an-db/c （2012-4-21正式在本微博发表）。但直到前段时期才惊呀发现: 寻找,“水手分椰子”类型题的简易计算方法，竟是一个有较深背景的，国内、外已研讨了数十年的热门话题,而且至今仍未找到较好解决办法。于是本人通过继续对该问题的分析研究，进一步完善了该简易通解公式的求解体系，现发表与大家共同分享：

： 一，水手分椰子 类型题简易通解公式及特殊形

1“水手分椰子”类型题简易的通解公式:y=a(a/m)n-1－db/c

y ──被分的椰子的总个数

 n ──总共分的次数（可为任意数）

 a──每次分的份数, （可为任意数）

 b──每次分a份后的余数.

 c ──每次分a份后拿走的份数,

 d ──每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.

 m —— (a/d)的最大公约数

 注：

 （1）在上试公式中，按照这种类型题题意的要求；y、a、b、c、d、n、m、都为正整数（否则无意义），

（ 2）当若b/c为正整数时，题目必定有解（后面会有论述）。当b/c不为正整数时，如果a、d、c、可用通解公式；y=ka(a/m)n-1-bd/c,来求解（k为某个能使通解公式取整的数），求最小解时，k等于小于c，从这些可以看出：绝大多数这类丢番图议程是有解的

  2.通解公式的三种特殊形式:

 (1)当出现（a/d)的公约数只有m =1时，通解公式可简化为；y=an－db/c

 (2)当式中的m和c都等于1时,通解公式可写成特殊简化形式:y=an-db

 (3)当式中的m，c和b都等于1时,通解公式可写成特殊简化形式y=an-d

 在《五猴分桃》一题中：由于(c=1，b=1）因而它正好属于公上面y=an-d的类型，由此可见《五猴分桃》一题，在这个简易通解公式里，是计算最为简单的一个类型。

二 ，通解公式的推导 ；

 设：最后5个水手一起分椰子时,看到的椰子数为；ax+b(x为最后一次分a份后每份的个数)

 那么，第5个水手分椰子时,看到的椰子数为：(ax＋b)a/d＋b=a2x/d＋ba/d＋b

 第4个水手分椰子时,看到的椰子数为:(a2x/d＋ab/d＋b)a/d＋b=a3x/d2＋b(a/d)2＋ba/d＋b

  同样有， 第3个水手分椰子时,看到的椰子数为：a4x/d3＋b(a/d)3＋b(a/d)2＋ba/d＋b

  然后：再一路往后推， 第1个水手分椰子时,看到的椰子数为：

  y=a6x/d5＋[(a/d)5＋(a/d)4＋(a/d)3＋(a/d)2＋(a/d)＋1]b,

 上式中的括号内是一个公比为(d/a)的等比数例,根据等比数例递推公式有：

y=anx/dn-1＋{(a/d)n-1[1－(d/a)n/(1－d/a)]}b

=anx/dn-1＋[(a/d)n-1－d/耐裤a]ab/c

=anx/dn-1＋ban/c dn-1－db/c

=(canx＋ban)/cdn-1－db/c

得到：y=an(cx＋b)/cdn-1－db/c

y=anc(x＋b/c)/cdn-1－db/c,

从而得到式 (1)y=an(x＋b/c)/dn-1-db/c

算式推导这里时，出现了两种情况

（1） 当上式中的a(a/d)部分, 若(a/d)无公约数时,则an与dn-1互质, 故上式可进一步写成：y=an[(x＋b/c)/dn-1]-db/c

 从上式可看出：根据题意dn-1必然是正整数，当(b/c)也为正整数，则(x+b/c)/dn-1必可取得最小自然数1, 或1 的任意整倍数, 通常在计算时，为了简便，一般取最小自然数1, 则上述方程可简写成，简易公式： y=an －db/c, 这个公式可看作是所有这种类型题目的通解，但不一定是最小解。

 （2） 若出现(a/d)有公约数这种情况时，此时y值，还会有比公式， y= an －db/c 更小的解，

现在我们接着y=an(x＋b/c)/dn-1 - db/ c ，这一步继续求证，设m为(a/b)的最大公约数，则有：

 y ＝a[(a/m)/(d/m)]n-1(x＋b/c)-db/c

 ＝a(a/m)n-1(x＋b/c)/(d/m)n-1 -db/c。

 根据上面第一种情况后面的同样道理，可得到：y=a(a/m)n-1－db/c

显然，如果我们把 1看做是（a/d）的公约数，那么当（a/d）的公约数只有1时，则y＝a(a/m)n-1－db/c＝an－db/c。

 也就是说：后者实质上是前者特殊形式，而y＝a(a/m)n-1－db/c，不仅是“五猴分桃”这种类型题的通解公式，同时也是符合题意要求的，求解所有的此种类型题的最小解的通解公式。

 （3） 在通解公式y=a(a/m)n-1－db/c , 里的db/c中，如果（b/c）是一个正整数，通解公式便有解，;

 在推导过程中的最后一步；y＝a(a/m)n-1(x＋b/c)/(d/m)n-1 -db/c中，现设：（x＋b/c)/(d/m)n-1=k，(k为正整数)，则有x=k(d/m)n-1－b/c ， 显然，当b/c为整数时，k(d/m)n-1－b/c也必然为整数，则此时的简易通解公式 y=a(a/m)n-1－db/c 必定有解。

 三，公式的验算

现在用上述公式来求解,本人在上月博客中12、15、16日所出的三道此种类型题目

例一，《九猴分桃》中：a=9, n=10, b=8, d=7, c=2

根据通解公式有：y=910－8×7÷2=3486784373。

 又如，《十六水手分椰子》中：a=16, n=11, b=12, d=13, c=3

  根据通解公式有y=1611－12×13÷3=17592186044364 。                  

同样，可得《二十三海盗分珠宝》的解为：

 y=2315－18×21÷2=2315－189=2666352354391245418。

在《五水手分椰子》中：因b=1, c=1 ，n=6,故y=a16－d，(在此题里d=4）。

由此也可看出:《五水手分椰子》也是这种类型题目中最简单的题目之一

以上题目,大家可以根据上面公式,对上述所出题目(或者按公式的定义, 自己随意出题)的答案，逐题进行验证；同时你也自然能够出许许多多的比“水手分椰子”难得多的题目了。