Question

已知﹛an﹜的前n项和为Sn ,且a₁=1,数列﹛an＋Sn﹜是公差为2的等差数列，

⒈求a₂,a₃的值，
⒉设bn＝an－2,求数列﹛bn﹜的通项公式
⒊Cn=nan－2n,求数列﹛Cn﹜的前n项和Tn

Answer 1

1）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1.
所以，a1+S1=a1+a1=2
而，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列
所以，
an+Sn=2n
所以，a(n+1)+S(n+1)=2n+2
所以，两式相减得到
2a(n+1)-an=2
所以，
a(n+1)=(an+2)/2
所以，
a2=(a1+2)/2=3/2
a3=(a2+2)/2=7/4
2）
因为a(n+1)=(an+2)/2
所以，a(n+1)-1/2*an=1，
因此，a(n+1)-2=1/2*(an-2)，
则｛an-2｝是以 a1-2=-1为首项，1/2为公比的等比数列，
所以，an-2=-1*(1/2)^(n-1)，即bn=-1*(1/2)^(n-1)，
3）因为Cn=bn*n
所以cn=-n*(1/2)^(n-1)
sn=-1/2^1-1+(-2)/2^2-1)+……+(-n)/2^(n-1)
1/2 sn=-1/2^1+(-2)/2^2+……+(-n+1)/2^(n-1)+(-n)/2^n
利用错位相减法可以得到
Tn=-1/2^0-1/2^1-1/2^2-……-1/2^(n-1)+n/2^n
所以Tn=2-（1/2)^(n-2)+n/2^n