Question

（超超高分悬赏）高手帮忙一下，大学数学问题（微积分）

高手帮忙一下，大学数学问题（微积分），例如，x^2+y^2-r^2=0是一个自变量为x、因变量为y的隐函数，为了求y对x的导数，将上式两边逐项对x求导，并将y^2看做x的复合函数。右端的导数显然为0，则有
(d/dx)(x^2)+ (d/dx)(y^2)- (d/dx)(r^2)=0
即 2x+2y(d/dx)=0
于是得到 x+y(d/dx)=0
所以 (dy/dx)=-x/y
从上例可以看出，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y’的一次方程，请问什么叫等式两边逐项对自变量求导？对于上题，将上式两边逐项对x求导这是怎么做的？还有将y^2看做x的复合函数这是什么意思？还有y对x的导数，这怎么理解？请详细一点，看在我将式子给出的情况下，请高手也编辑一下数学符号吧，求你了，看在我焦急的情况下。（超高分悬赏）

Answer 1

逐项求导就是说方程两边都是多项式，将多项式的每一项分别对 x 求导。

可以不用按照复合函数来求导的。
将x ，y都看做自变量，我们直接对每个项求导就可以了，比如你的式子
x^2 + y^2 -r^2 =0
那么就有
2xdx + 2ydy =0
移项得到 2ydy = -2xdx
则有 dy/dx = -x/y
这是其中的一种方法。

如果非要按照复合函数的求导的方法，只有 x 是自变量，那么 y 就是一个关于 x 的函数，那么上述方程左边对 y^2 项求导就要分两步，第一步是 y^2 对 y 求导得 2y ，然后乘以 y 对 x 求导即 y‘（这其实也就是dy/dx）

我说的方法其实是基于微分的道理，因为 dy/dx 是y对x的导数，也可以看做两个变量微分的比值，因此，在逐项求导的过程中，将二者均看做变量，各自求微分，然后合并同类项相除就可以求得导数了。
比如 x^3 + 2xy^2 + 5x^2y + 2y^3 + 45 = 0 这个隐含表达式 x^3和2y^3和45这三项就不说了，直接对相应变量求导就可以了得到 3x^2dx 、6y^2dy 和 0 。
中间的两项是二元的项，求导的时候，两个变量都要求，求x导数时，将y看做常数，求y导数时，将x看做常数。
如 2xy^2 求导的结果是 2y^2dx + 4xydy
所有项都求完后，因为等式两边的项要么带有dx，要么带有dy，合并同类项后就必然得到dy/dx

追问

不好意思，我无法理解就是关于y‘这个式子，就是2X+2yy'=0，这个y'我无法理解？高中求导的时候不是直接就是2X+2y=0吗？这个y'到底什么意思啊？有意义吗？会影响式子吗？不好意思，我初学

追答

因为对于隐式函数，y关于x的表达式是不清楚的，我们可以用y=f(x)来表示，那么我们就可以转化成
x^2 + [f(x)]^2 - r^2 = 0 来表示。
那么对 [f(x)]^2 求关于x的导数，就有是复合函数求导，首先对形如 t^2 的表达式求导，得到 2t ，但这是将f(x)作为整体来求的，并不是求x的导数，要想得到最终结果必须乘以 f(x)对x的导数，即f ' (x)，也就是y'。

Answer 2

首先Y是X的函数 y^2是个复合函数 由复合函数求导法则可知
（ y^2）'=2y*y' y'就是y对x的导数 上面的函数是隐函数 不是通常的函数形式 y=F(X)
不能直接用这种表达式 我们就设想存在 存在y'

Answer 3

逐项对自变量x求导
（x^2)' +(y^2)' -(r^2)' =0' → （d/dx)(x^2)+(d/dx)(y^2)-(d/dx)(r^2)=0

y^2是x的复合函数，先对y求导，再对x求导 (y^2)' =2yy' =2ydy/dx

y是关于x的函数，对y求导，就是y对x求导