Question

求助一个高等数学问题

A是对f(x)g(x)dx已知上下限的定积分，g(x)表达的是在积分上下限内不同的x通过f(x)推导目标值A的一个权重，或者说加权的函数。通过实验测得了一系列A值与f(x)函数之间的对应关系，我想基于这些实验数据估计g(x)这个函数（比如让实验得到的A值与按照实验所得到的f(x)函数估算出来的A'之间的差值平方和最小，也就是最小二乘原则）。请问以上我所说的问题在数学中是什么样的一个概念或问题？该用什么方法去解决呢？是不是可以用某种积分变换来解决？谢谢。
补充：我说的通过实验得到的一些列f(x)函数，其实就是一系列离散的x - f(x)的对应关系，可以用四次多项式很好的拟合，所以可以认为f(x)函数其实就是一系列系数不同的四次多项式函数。
第一句话重新说一下： 量A与函数f(x)之间有关系 A = 对f(x)g(x)dx已知上下限的定积分

Answer 1

这是数值逼近中的反问题，本质上可以转化到数值微分问题
A是关于积分上下限的函数，可以先固定其中一个，比如说下限为0，令
A(x) = \int_0^x f(t)g(t)dt
通过一定的采样(x_i, A(x_i))之后拟合出数值导数A'(x)，然后利用A'(x)=f(x)g(x)就可以还原出g(x)。

数值微分这一步比较麻烦，为了保证稳定性需要用到正则化，其结果相当于是拟合{(x_i, A(x_i))}的一个三次样条函数的导数。如果你没有相关知识的话就需要去看一下数值微分的文献，不然这一步很容易出问题。

另外，这里\int f(x)g(x)dx只是普通的内积，可能不适合用积分变换，积分变换处理卷积比较好。

追问

非常感谢你的回复。但是我不是很理解将A通过积分上限变成变量而成为关于x的函数这一步，因为积分的上下限是已知确定的。每次实验中A和f(x)都是能够确定的，也就是说：
A1 = \int_x1^x2 f1(x)g(x) dx
A2 = \int_x1^x2 f2(x)g(x) dx
...
An = \int_x1^x2 fn(x)g(x) dx
满足上面每个单独的式子的g(x)有可能是多解的吧，如果限定一下g(x)的类型，是否会确定？该怎么求呢？这样通过多次重复实验，是否可以作一个最佳估计？

追答

那就是另一个问题了，我原先的回答是基于一个固定的f取很多个不同的区间来确定g，你现在是给定了区间取不同的f。
这个相对简单一点，当然也看你取的f_k(x)有没有什么约束。
如果可以随便挑选f_k(x)，最好就取L^2[x1,x2]上的标准正交基，比如三角函数cos(kx), sin(kx)系，或者Legendre多项式，这样的话A_k相当于g(x)按{f_k(x)}展开的系数，当n增加的时候肯定是趋于收敛的。
如果f_k(x)有一定的限制的话就要额外算f_k(x)之间的内积，还需要解一步线性方程组。

追问

太好了，谢谢你进一步的回答。f_k(x) 并不是完全随意的。我实验数据来看，f_k(x) 可以用四次多项式较好的拟合，也就是仅仅是系数的变化而已。对于A_k = \int_x1^x2 f_k (x) g(x) dx
这个线性方程组该怎么列呢？

追答

把[f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)]用Gram-Schmidt过程标准正交化得到[h_1(x), h_2(x), ..., h_n(x)]，f_k和h_k之间是可以互相表示的：[f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)]=[h_1(x), h_2(x), ..., h_n(x)]R，其中R是一个n阶上三角矩阵。只要得到了关于h_k(x)的展开式就可以反过来得到关于f_k(x)的展开式。不管怎么说这里至少需要做一次正交化，至于显式生成R方便还是生成h_k(x)方便要看具体问题了，绝大多数情况下生成R要方便得多，这样就需要再解一次上三角方程组，当然这个也非常容易，主要工作量都在正交化。

追问

[A_1; A_2; ...; A_n] = \int_x1^x2 [h_1(x); h_2(x); ...; h_n (x)] R(x) g(x) dx
这个R应该是x函数吧？那么这个积分符号该怎么消解呢？正如你说的正交化是最重要的一步。要对一个函数序列进行正交化，那就是对每一个自变量值下的函数值数列进行正交化咯？我用Matlab可有相应函数？再次表示非常感谢！

追答

[f_1(x), f_2(x), ..., f_n(x)]=[h_1(x), h_2(x), ..., h_n(x)]R
R是一个常数矩阵，不是函数
这个就是内积空间里最普通的正交化，自己去复习一下Gram-Schmidt正交化过程。

Answer 2

uzhi

Answer 3

快乐

Answer 4

不知道