Question

设a+b=1，a²+b²=2，求a的七次方+b的七次方的值

Answer 1

先求ab由a+b=1两边平方，得： a^2+b^2+2ab=1
2+2ab=1 得：ab=-1/2， ①
(a+b)×(a^2+b^2)=1×2
a^3+b^3+ab^2+a^2b=2
a^3+b^3+ab(a+b)=2
a^3+b^3-1/2=2
a^3+b^3=5/2
②
(a^2+b^2)^2=4
a^4+b^4+2a^2b^2=4
a^4+b^4+2(ab)^2=4
a^4+b^4+1/2=4
a^4+b^4=7/2
所以：
(a^3+b^3)(a^4+b^4)=5/2×7/2
a^7+b^7+a^3b^4+a^4b^3=35/4
a^7+b^7+a^3b^3(a+b)=35/4
a^7+b^7-1/8=35/4
因此：
a^7+b^7
=35/4+1/8
=71/8