Question

根号1-x^2的定积分是什么?

Answer 1

根号下1-x^2的积分为1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C。

解：∫√(1-x^2)dx

令x=sint，那么∫√(1-x^2)dx=∫√(1-(sint)^2)dsint

=∫cost*costdt

=1/2*∫(1+cos2t)dt

=1/2*∫1dt+1/2*∫cos2tdt

=t/2+1/4*sin2t+C

非负性

在实数范围内

（1）偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。

（2）奇次根号下可以为负数。

不限于实数，即考虑虚数时，偶次根号下可以为负数，利用【i=√-1】即可。

Answer 2

根号下1-x^2的积分为1/2*arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C。

解：∫√(1-x^2)dx

令x=sint，那么∫√(1-x^2)dx=∫√(1-(sint)^2)dsint

=∫cost*costdt

=1/2*∫(1+cos2t)dt

=1/2*∫1dt+1/2*∫cos2tdt

=t/2+1/4*sin2t+C

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：

若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系牛顿-莱布尼茨公式。

一个函数可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分，若只有有限个间断点，则定积分存在，若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。