Question

在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°.BC=DE,AB=BD,M、M'分别为AB、BD的中点，如图，连接MM'并延长，交CE

在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°.BC=DE,AB=BD,M、M'分别为AB、BD的中点，如图，连接MM'并延长，交CE于点K,试判断CK与EK的数量关系，求过程。

Answer 1

如图，延长MK至L，使KL=MM'，连接LE，
则KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，
由（1）可知CM=EM′，
∵BD=AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，
∴BM=BM′，
∴∠BMM′=∠BM′M，
由（1）知△BCM≌△DEM′，
∴∠BMC=∠EM′D，
∴∠CMK=∠KM′E，
∴△CMK≌△EM′L，
∴CK=EL，
又∠CKM=∠LKE=∠KLE，
∴KE=LE，
CK=KE．

Answer 2

（2）证明：作CF⊥MK于F，EG⊥MK于G
∵BM=BM′
∴∠BMM′=∠BM′M（等边对等角）
∵∠BM′M=∠DM′K（对顶角相等）
∴∠BMM′=∠DM′K
由（1）得∠BMC=∠DM′E
∴∠CMK=∠EM′K
又CM=EM′
∴△CMF≌△EM′G
∴CF=EG
再进一步证出△CKF≌△EKG
得出CK=EK（图我画不上）

Answer 3

证明：（1）根据线段中点的概念和已知的AB=BD，得BM=DM′；
在△BCM与△DEM′中，
∵∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，
∴△BCM≌△DEM′，
∴CM=EM′；

（2）如图2，延长MK至L，使KL=MM'，连接LE，（我等级不够，弄不了图，你自己画下看）
则KL+KM′=MM'+KM′，即KM=LM′，
由（1）可知CM=EM′，
∵BD=AB，M是AB的中点，M'是BD的中点，
∴BM=BM′，
∴∠BMM′=∠BM′M，
由（1）知△BCM≌△DEM′，
∴∠BMC=∠EM′D，
∴∠CMK=∠KM′E，
∴△CMK≌△EM′L，
∴CK=EL，
又∠CKM=∠LKE=∠KLE，
∴KE=LE，
CK=KE．