Question

函数f(x)=ax+b/1+x的平方是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1/2)=2/5

1.确定函数f(x)的解析式
2.用定义证明f(x)在(-1,1)上是整函数
写过程

Answer 1

因为：f(1/2)=2/5
所以：a/2+b=1/2
因为：f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0，a=1
（1）f(x)=x/(1+x2)
(2)设-1<x1<x2<1,则：f(x2)-f(x1)=x2/(1+x22)-x1/(1+x12)
=(x2+x2x12-x1-x1x22)/(1+x22)(1+x12)
=(x1x2-1)(x1-x2)/(1+x22)(1+x12)
因为：-1<x1<x2<1；所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x22)(1+x12)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数

Answer 2

因为：f(1/2)=2/5
所以：a/2+b=1/2
因为：f(x)为奇函数
所以f(-x)=-f(x),即(-ax+b)/(1+x2)=-(ax+b)/(1+x2),
即(-ax+b)=-(ax+b).
即b=-b
所以b=0，a=1
（1）f(x)=x/(1+x2)
(2)设-1<x1<x2<1,则：f(x2)-f(x1)=x2/(1+x22)-x1/(1+x12)
=(x2+x2x12-x1-x1x22)/(1+x22)(1+x12)
=(x1x2-1)(x1-x2)/(1+x22)(1+x12)
因为：-1<x1<x2<1；所以x1x2-1<0,x1-x2<0,
(1+x22)(1+x12)>0
所以f(x2)>f(x1)
故f(x)在(-1,1)上是增函数