Question

已知A,B,C是直线l上的三点,点o在直线l外,向量OA,OB,0C满足OA

已知A,B,C是直线l上的三点,点o在直线l外,向量OA,OB,0C满足OA-[f（x）+1]OB+ln（x+1）OC=0(全是向量) （1）求函数y=f（x）的表达式 （2）若不等式-1/2X^2<=f（x^2）+m^2-2m-3在-1=<x<=1恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

核心知识点：A,B,C共线当且仅当：对于平面上任一点O，有OA=mOB+nOC,其中，m+n=1 (OA,OB,OC表示向量）
(1) 由条件知 OA=[f（x）+1]OB-ln（x+1）OC，所以 f(x)+1-ln(x+1)=1，解得f(x)=ln(x+1)
(2) 不等式 (-1/2)x²≤f(x²)+m²-2m-3 可化为 m²-2m-3≥(-1/2)x²-ln(x²+1)，-1≤x≤1
令g(x)=(-1/2)x²-ln(x²+1) ，-1≤x≤1 ，则m²-2m-3≥[g(x)]max ，-1≤x≤1 (即g(x)的最大值）
因为 g'(x)=-2x-2x/(x²+1)，令 g'(x)=0 解得 x=0，容易判断g(x)在[-1，1]上的最大值为g(0)=0
所以m²-2m-3≥[g(x)]max =0，即m²-2m-3≥0，解得m≥3或m≤-1

Answer 2

﹙1﹚OA-[f（x）+1]OB+ln（x+1）OC=0
OA=[f（x）+1]OB-ln（x+1）OC
f（x）+1－ln（x+1）＝1
∴f(x)=ln（x+1）
﹙2﹚-1/2X^2<=f（x^2）+m^2-2m-3
∴m^2-2m-3≥-1/2X^2-ln﹙x²＋1﹚
∵1/2X^2-ln﹙x²＋1﹚在[-1,1]的最大值为0.
∴m^2-2m-3≥0
∴m≤-1或m≥3