Question

高一数学集合间的基本关系的知识点

Answer 1

　　集合是高一数学的学习内容，将集合的知识点归纳总结，也是学习集合的一种方法，下面是我给大家带来的有关于高一集合的基本关系的知识点的具体介绍，希望能够帮助到大家。

　　高一数学集合间的基本关系的知识点介绍

　　1.1.2　集合间的基本关系

　　1.Venn图

　　在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.

　　比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示.

　　【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}.

　　解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn图表示如图所示.

　　对Venn图的理解　Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制.

　　2.子集

　　定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记法

　　与读法 记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”). 图示 或 示例 具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有MP. 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA.

　　(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC. 对子集的理解　(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB.

　　(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.

　　(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作AB或BA.

　　(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N.

　　【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，则实数m=__________.

　　解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0.

　　答案：0

　　【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，试判断集合M，N的关系.

　　解：∵xZ，且-1≤x<3，

　　∴x的可能取值为-1,0,1,2.

　　∴M={-1,0,1,2}.

　　又∵yM，

　　∴|y|分别是0,1,2.

　　∴N={0,1,2}.

　　∴NM.

　　3.集合相等

　　如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示.

　　对集合相等的理解　(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据;

　　(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等;

　　(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在;

　　(4)集合中的关系与实数中的结论类比

　　实数 集合 a≤b包含两层含义：a=b，或a

　　A.P={1,4,7}，Q={1,4,6}

　　B.P={x|2x+2=0}，Q={-1}

　　C.3P,3Q

　　D.PQ

　　解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立;对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等.

　　答案：B

　　【例3-2】设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值.

　　解：由集合相等的定义，得或

　　(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去;

　　(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互异性.

　　综上，可得x=1，y=0.

　　4.真子集

　　定义 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集. 记法 记作AB(或BA). 图示 结论 (1)AB且BC，则AC;

　　(2)AB且A≠B，则AB. 对真子集的理解　(1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A;

　　(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集;

　　(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集.

　　【例4】已知集合P={2 012,2 013}，Q={2 011,2 012，2 013，2 014}，则有(　　)

　　A.P=Q B.QP

　　C.PQ D.QP

　　解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ.

　　答案：C

　　5.空集

　　定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集. 记法 规定 空集是任何集合的子集，即A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，

　　(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A {0}与的区别

　　{0}与

　　的区别 {0}是含有一个元素的集合 是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成={0}，{0} 【例5-1】下列集合为空集的是(　　)

　　A.{0} B.{1}

　　C.{x|x<0} D.{x|1+x2=0}

　　解析：很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2=0}=.

　　答案：D

　　【例5-2】有下列命题：①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠.其中正确的有(　　)

　　A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

　　解析：对于①，空集是任何集合的子集，故，①错;对于②，只有一个子集，是其自身，②错;对于③，空集不是空集的真子集，③错;空集是任何非空集合的真子集，④正确.

　　答案：B

　　6.集合间的关系判断

　　(1)集合A，B间的关系

　　(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合.

　　(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种：

　　①一一列举观察;

　　②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

　　一般地，设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，则AB;若q(x)推出p(x)，则BA;若p(x)，q(x)互相推出，则A=B;若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系.

　　③数形结合法：利用数轴或Venn图.

　　(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系.当MN和M=N均成立时，M=N比MN更准确地反映了集合M和N的关系.

　　例如，集合M={1}，集合N={1,2}，这时MN和MN均成立，MN比MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又例如，集合M={3}，集合N={3}，这时MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更准确地反映了集合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集合之间的关系：

　　(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)};

　　(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形};

　　(3)A={x|-1

　　(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}.

　　分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系.

　　解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.

　　(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

　　(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.

　　(4)由列举法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM.

　　怎样用数轴表示集合　对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示;若端点值不是集合的元素，则用空心点表示.

　　【例6-2】已知集合，，则集合M，N的关系是(　　)

　　A.MNB.MN

　　C.NMD.NM

　　解析：设n=2m或2m+1，mZ，

　　则有

　　.

　　又∵，

　　∴MN.

　　答案：B

　　7.求已知集合的子集(或真子集)

　　(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏.一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集.

　　例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}.

　　(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2.

　　【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5}，请写出集合M.

　　分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必须含有元素1,2，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M.

　　解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2};

　　(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5};

　　(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5};

　　(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}.

　　因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}.

　　有限集合子集的确定技巧　(1)确定所求的集合;

　　(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出;

　　(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到.

　　【例7-2】设集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B.

　　解：∵A={a，b，c}，又TA，

　　∴T可能为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.

　　∴B={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}.

　　【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和.

　　解：集合A的子集分别是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5)×4=36.

　　集合所有子集的元素之和的计算公式　若集合A={a1，a2，a3，…，an}，则A的所有子集的元素之和为(a1+a2+…+an)·2n-1.

　　8.集合间的基本关系与方程的综合问题

　　集合间的基本关系与方程的综合问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围.解决此类问题应注意：

　　(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数.集合{x|f(x)=0}表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示关于x的方程mx2-x+23=0的解集，其中x是未知数，m是常数.此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中的参数m的取值.当m=0时，该方程为-x+23=0，是一元一次方程;当m≠0时，该方程为mx2-x+23=0，此时才是关于x的一元二次方程.

　　(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是AB的含义.当B≠时，对于AB，通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，此时，容易忽视A=的情况.

　　(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}且BA，求m的值.

　　分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x满足mx+1=0，又字母m的范围不明确，m是否为0题目没有明示，因此要进行分类讨论.本题应弄清楚两个问题：一是集合B有没有元素;二是集合B有元素时，元素是什么.

　　解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

　　因为BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或无解.

　　当mx+1=0的解为-3时，由-3m+1=0得;

　　当mx+1=0的解为2时，由2m+1=0得;

　　当mx+1=0无解时，m=0.

　　综上可知，m的值为或或0.

　　【例8-2】设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若BA，求实数a的值或取值范围.

　　解：由题意得A={0，-4}，BA.

　　(1)当A=B时，即B={0，-4}.

　　由此知，0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，

　　由韦达定理知解得a=1.

　　(2)当B=时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　(3)当B为单元素集时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1.

　　当a=-1时，B={x|x2=0}={0}A，满足条件.

　　综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.9.集合间的基本关系与不等式的综合问题

　　用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用.数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观.

　　在数轴上表示集合时，要注意端点用实心点还是空心点，若包含端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示.

　　集合间的基本关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意：

　　(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数.集合{x|f(x)>0}，{x|f(x)<0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0}均表示关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如，集合{x|-nx+3<0}表示关于x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知数，n是常数.这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中的参数n的取值.当n=0时，该不等式为3<0，不是一元一次不等式;当n≠0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式.

　　(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如2<3和3<2都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m+1

　　分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是一个用字母m表示的不等式，集合A给出的不等式在数轴上表示为-2到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，m+1与2m-1的大小关系有两种情形：当m+1≥2m-1时x，所以BA一定成立;当m+1<2m-1时，可借助于数轴来分析解决.

　　解：∵BA，A≠，∴B=或B≠.

　　当B=时，m+1≥2m-1，解得m≤2.

　　B≠时，如数轴所示.

　　则有解得

　　因此2

　　综上所述，m的取值范围为m≤2或2

　　【例9-2】已知集合A={x|x<-1，或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，求实数a的取值范围.

　　分析：对集合B是否为空集进行分类讨论求解.

　　解：当B=时，只需2a>a+3，即a>3;

　　当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴，

　　可得或解得a<-4或2

　　综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2.

　　利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证　利用子集关系求参数的问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值.例如本题中在B≠时，解得a<-4或2