Question

已知cos(α-β/2)=-1/9,sin(α/2-β)=2/3,且π/2<α<π。0<β<π,求cos(α+β)/2 请给详细过程

Answer 1

由π/2<α<π，0<β<π
则π/4< α/2 <π/2，0<β/2<π/2，

所以α-β/2 大于 π/2 - π/2=0，小于π- 0=π
即0< (α-β/2) <π，
而α/2-β 大于 π/4 - π= -3π/4，小于π/2- 0=π/2，
即 -3π/4< (α/2-β) <π/2

又cos(α-β/2)=-1/9，
而0< (α-β/2) <π，即sin(α-β/2)>0，
所以sin(α-β/2)=√80/9=(4√5)/9

sin(α/2-β)=2/3，
而-3π/4< (α/2-β) <π/2，即cos(α/2-β)>0，
所以cos(α/2-β)=√5/3

于是可以得到
cos(α+β)/2=cos[(α- β/2)-(α/2 -β)]
=cos(α-β/2)cos(α/2 -β) + sin(α-β/2)sin(α/2 -β)
= -1/9 × √5/3 +(4√5)/9 × 2/3
= (7√5) /27