Question

数据结构与算法Day20----递归算法时间复杂度的求解方法

Answer 1

  递归的思想就是，将大问题分解为小问题来求解，然后再将小问题分解为小小问题。这样一层一层地分解，直到问题的数据规模被分解得足够小，不用继续递归分解为止。 如果把这个一层一层的分解过程画成图，它其实就是一棵树。给这棵树起一个名字，叫作递归树。节点里的数字表示数据的规模，一个节点的求解可以分解为左右子节点两个问题的求解。

  假设平均情况下，每次分区之后，两个分区的大小比例为 。当 时，如果用递推公式的方法来求解时间复杂度的话，递推公式就写成 。这个公式可以推导出时间复杂度，但是推导过程非常复杂。
  如果采取递归树的方法，还是取 等于 ，也就是说，每次分区都很不平均，一个分区是另一个分区的 倍。快速排序的过程中，每次分区都要遍历待分区区间的所有数据，所以，每一层分区操作所遍历的数据的个数之和就是 。
  现在只要求出递归树的高度 ，这个快排过程遍历的数据个数就是 ，就是说，时间复杂度就是 。因为每次分区并不是均匀地一分为二，所以递归树并不是满二叉树。这样一个递归树的高度是多少呢？因为快速排序结束的条件就是待排序的小区间，大小为 ，也就是说叶子节点里的数据规模是 ，从根节点 到叶子节点 ，递归树中最短的一个路径每次都乘以 ，最长的一个路径每次都乘以 。通过计算可以得到，从根节点到叶子节点的最短路径是 ，最长的路径是 。
  所以，遍历数据的个数总和就介于 和 之间。根据复杂度的大O表示法，对数复杂度的底数不管是多少，统一写成 ，所以，当分区大小比例是 时，快速排序的时间复杂度仍然是 。
  刚刚假设 ，那如果 ，也就是说，每次分区极其不平均，两个区间大小是 ，这个时候的时间复杂度是多少呢？可以类比上面 的分析。当 的时候，树的最短路径就是 ，最长路径是 ，所以总遍历数据个数介于 和 之间。尽管底数变了，但是时间复杂度也仍然是 。也就是说，对于 等于 ， ，甚至是 ， ……，只要 的值不随 变化，是一个事先确定的常量，那快排的时间复杂度就是 。所以，从概率论的角度来说，快排的平均时间复杂度就是 。

   分解为 和 ，每次数据规模都是 或者 ，叶子节点的数据规模是 或者 。所以，从根节点走到叶子节点，每条路径是长短不一的。如果每次都是 ，那最长路径大约就是 ；如果每次都是 ，那最短路径大约就是 。
  每次分解之后的合并操作只需要一次加法运算，把这次加法运算的时间消耗记作 。所以，从上往下，第一层的总时间消耗是 ，第二层的总时间消耗是 ，第三层的总时间消耗就是 。依次类推，第 层的时间消耗就是 ，那整个算法的总的时间消耗就是每一层时间消耗之和。
  如果路径长度都为 ，那这个总和就是 。
  如果路径长度都是 ，那整个算法的总的时间消耗就是 。
  所以，这个算法的时间复杂度就介于 和 之间。虽然这样得到的结果还不够精确，只是一个范围，但是基本上知道了上面算法的时间复杂度是指数级的。

  第一层分解有 次交换操作，第二层有 个节点，每个节点分解需要 次交换，所以第二层总的交换次数是 。第三层有 个节点，每个节点分解需要 次交换，所以第三层总的交换次数是 。
  以此类推，第 层总的交换次数就是 。最后一层的交换次数就是 。每一层的交换次数之和就是总的交换次数。
  这个公式的求和比较复杂，看最后一个数， 等于 ，而前面的 个数都小于最后一个数，所以，总和肯定小于 ，也就是说，全排列的递归算法的时间复杂度大于 ，小于 ，虽然不是非常精确的时间复杂度，但是这样一个范围已经说明全排列的时间复杂度是非常高的。