Question

已知：在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥ AD，垂足为Q

求证：BP=2PQ 额，没图，高手应该见过这道题把？？？

Answer 1

先用“角边角”证明△ABE≌△CAD，
由于 AB=AC,∠BAC=∠C=60°，AE=CD，
所以 △ABE≌△CAD，
那么∠ABE=∠CAD
再证明∠BPQ=60°。
三角形的2个内角和等于第三个角的补角
所以：∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=60°
因此，∠PBQ=30°
所以BP=2PQ

追问

思路是什么啊，你怎么预先知道要证明△ABE全等于△ADC啊

追答

多做，首先逆向BP=2PQ且处于直角行明显得证 ∠BPQ=60
显然得利用bpq=abp+bad 1
下一步是关键线段AE=CD与角b关系不大，与角c呢关系大但太独立，所以用角a
角a=bad+cad 2
由1.2可知下部证明abp=cad下面证明△ABE全等于△ADC

Answer 2

∵Δ是等边三角形
∴∠A=∠B=60º,AB=AC
又∵AE=CD
∴ΔABE≌ΔCAD
∴∠ABE=∠CAD
又∵∠BPD=∠BAD+∠ABE
∴∠BPD=∠BAD+∠CAD=60º
又∵BP⊥AD
∴BP=2PQ

看来本人速度太慢了，老是被人抢先了

Answer 3

∵△ABC是等边三角形
∴∠BAE=∠ACD=60°,AB=AC
∵AE=CD
∴△BAE≌△ACD(SAS)
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPD=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=90°-∠BPD=30°
∴BP=2PQ(直角三角形中30°所对的边是斜边的一半)