Question

数列收敛，求助！！！！

Answer 1

此题非常容易，证明过程也很简单。你不要先求数列a n收敛，而求级数a n收敛。
a n>0,且lim(n->无穷大) a n / a n+1 =L>1
也就意味着n取值充分大时，存在一个很小的e>0，使得 （a n / a n+1） -L的绝对值小于e，同时取得的e也要满足L-1>e, 所以（a n / a n+1） -L的绝对值小于e，
则 -e <（a n / a n+1 ) -L < e
（a n / a n+1）> L-e 因为 a n >0 且 L-e>1>-0， 所以 （a n+1 / a n）< 1/(L-e) <1
以上就是为了证明 lim(n->无穷大) a n+1 / a n <1，其实如果偷懒一点的话，
从lim(n->无穷大) a n / a n+1 =L>1，可以直接得到lim(n->无穷大) a n+1 / a n <1，因为这一点很显然。
得到上述结论后，由D‘Alembert判别法可知 级数an收敛。
正项级数an收敛，则可有级数收敛的必要条件可知，其通项公式必然趋向0，也即是：
lim (n->无穷大) a n =0
得证。
级数和数列是相同的，所以在证明这种题目时，善于相互利用，融汇贯通，其实很容易。