Question

如图，在○O中，AB是直径，P为AB上一点，∠NPB=45°

如图，在○O中，AB是直径，P为AB上一点，∠NPB=45°(1)若AP=2，BP=6，求MN的长；(2)若MP=3，NP=5，求AB的长；(3)当P在AB上运动时(保持∠NPM的度数不变)，试问(PM²+PN²)/AB²的值是否发生变化若不变，请求其值；若变化，请求出其值的范围。

Answer 1

作OQ⊥于MN，连接OM，设OQ=a，半径为r
1)
∵AB为直径，∴OP=r-AP=[(AP+BP)/2]-AP=2
又∵∠NPB=45°，∴2a²=OP²（勾股定理），a=√2
∴r²=a²+MQ²（勾股定理），MQ=√14
∴MN=2√14（垂径定理）

2)这个我记得好像是个公式吧？弦与直径相交45°，则MP²+NP²=2r²，直接代入就行了
不用公式直接计算如下：
∵∠NPB=45°，∴OP=[√2]a，OQ=PQ=a
∵MQ=(MP+NP)/2=MP+a=4，∴a=1
又∵a²=r²-MQ²（勾股定理），∴r=√17，2r=2√17

3)咦？难道不是公式？这是几年级的题？
总之∠NPB=45°时，(PM²+PN²)/AB²不变，等于1/2
证明从略，跟第二问差不多