Question

图片上的证明题怎么做？

看图

Answer 1

就只做证明了啊，用数学归纳法来做吧

首先当k=1的时候，显然
A^1=（λ，1，0 = （λ^1，1×λ^(1-0)，1×(1-0)λ^(1-2)
0，λ，1 0 ， λ^1 ， 1×λ^(1-0)
0，0，λ） 0 ， 0 ， λ^1 ）
成立

假设当k=n的时候，
A^n=（ λ^n，nλ^(n-1)，n(n-1)/2 λ^(n-2)
0 ， λ^n ， nλ^(n-1)
0 ， 0 ， λ^n ）成立，
则当k=n+1时，
A^(n+1)=A^n × A
= （ λ^n，nλ^(n-1)，n(n-1)/2 λ^(n-2) （λ，1，0
0 ， λ^n ， nλ^(n-1) × 0，λ，1
0 ， 0 ， λ^n ） 0，0，λ）
如a11=λ^n × λ=λ^(n+1)
a12=λ^n ×1 + nλ^(n-1) × λ=(n+1)λ^n
a13=nλ^(n-1) ×1 + n(n-1)/2 λ^(n-2) ×λ =(n+1)n/2 λ^(n-1)

所以由矩阵乘法可以计算出
A^(n+1)= （ λ^(n+1)，(n+1)λ^n，(n+1)n/2 λ^(n-1)
0 ， λ^(n+1) ， (n+1)λ^n
0 ， 0 ， λ^(n+1) ）
即k=n+1时原命题也成立，

所以
原命题在自然数域内成立，
即
A^k=（ λ^k，kλ^(k-1)，k(k-1)/2 λ^(k-2)
0 ， λ^k ， kλ^(k-1)
0 ， 0 ， λ^k ）