Question

两个二重积分相等且积分区域相同能说明被积分函数相等哪里？

Answer 1

不能。二重积分可以理解为曲顶柱体的体积。底面就是积分区域，曲顶就是被积函数。

再直观一点：你可以拿个柱形水桶，装半桶水，然后摇晃水桶，水的体积不变，但是水面一直在变。水面就是被积函数。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

几何意义:

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。