Question

设点M(x0,y0,z0)与平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d,求证d=|Ax0+By0+Cz0+D| / 根号(A^2+B^2+C^2)

Answer 1

首先你需了解几个工具，即几个知识点
知识点1、Ax +By +Cz + D = 0，其中n = (A, B, C)是平面的法向量
知识点2、向量V（x, y, z),则|V| = √(x * x + y * y + z * z)
知识点3、两个向量V1(x1, y1, z1)、V2(x2, y2, z2)，他们的数量积V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

任取平面内一点P（x，y，z），连接PM，过点P做平面法向量n = (A, B, C)
点M到平面的距离即为PM在法向量上的投影
d=IPMI*cosθ （其中θ为PM与法向量的夹角）
=IPMI*cosθ*InI/InI （上下同乘以InI，上面刚好就是PM与n的数量积积）
=PM*n/InI=[A(x0-x)+B(y0-y)+C(z0-z)]/√(A*A+B*B+C*C) 向量PM为[(x0-x),(y0-y),(z0-z)]
=(Ax0+By0+Cz0-Ax+By+Cz)/√(A*A+B*B+C*C)
=(Ax0+By0+Cz0+D)/√(A²+B²+C²) Ax+By+Cz+D=0
=IAx0+By0+Cz0+DI/√(A²+B²+C²) 为确保d为正值，上面加绝对值号

通常这个会以填空形式来作为考点，
只需要记住公式即可，推理过程一般不会考。
明白了没？还不清楚的话，HI我啊……
希望能帮到你哦……