Question

求非齐次线性方程组的解

x1+x2+x3=1
ax1+bx2+cx3=d
a^2x1+b^2x2+c^2x3=d^2
讨论何时有唯一解 无解 无穷解、？？

Answer 1

3元线性方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于0
而系数行列式 |A| =
1 1 1
a b c
a^2 b^2 c^2
=(b-a)(c-a)(c-b).
所以a,b,c 两两不相等时方程组有唯一解.

设a,b,c 有两个相等
不妨设 a=b
方程组的增广矩阵 =
1 1 1 1
a a c d
a^2 a^2 c^2 d^2
-->
r3-2r2,r2-2r1
1 1 1 1
0 0 c-a d-a
0 0 c(c-a) d(d-a)

若 c=a, d≠a, 则方程组无解
若 c=a, d=a, 则方程组有无穷多解
若 c≠a
方程组的增广矩阵 -->
1 1 1 1
0 0 1 (d-a)/(c-a)
0 0 c d(d-a)/(c-a)

r3-cr2
1 1 1 1
0 0 1 (d-a)/(c-a)
0 0 0 (d-c)(d-a)/(c-a)

当 d=c或d=a 时, 有无穷多解
当 d≠c且d≠a 时, 方程组无解

综上有
(1) a,b,c 两两不相等时方程组有唯一解
(2) a,b,c 都相等且等于d时方程组有无穷多解
a,b,c 都相等但不等于d时方程组无解
(3) a,b,c 两个相等, d若等于a,b,c之一, 则有无穷多解; 否则无解.

看看与你的解答是否一致

Answer 2

非齐次线性方程组求通解