Question

平均值不等式是什么？

Answer 1

均值不等式是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

均值不等式部分的公式：

a^2+b^2 ≥ 2ab。

√(ab)≤(a+b)/2 ≤（a^2+b^2）/2。

a^2+b^2+c^2≥（a+b+c）^2/3≥ab+bc+ac。

变形：

⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2>0>-2ab。

⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a×b）≥0，即（a+b)/2≥√（a×b）≥0。

⑶对负实数a,b，有a+b<-2√（a*b)<0。

⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b)。

⑸对非负实数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0。

⑹对实数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b）^2≥2ab。

⑺对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2。

⑻对实数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac。

⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2。

⑽对非负数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^(1/3)。