Question

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且满足f(a)=0,若f'(x)单调增加,则φ(x)=f(x)/(x-a)

设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且满足f(a)=0,若f'(x)单调增加,则φ(x)=f(x)/(x-a)也在(a,b)内单调增加。
证明题

Answer 1

φ‘(x)=(f’(x)(x-a)-f(x))/(x-a)^2, a<x<b
只需证明： f’(x)(x-a)-f(x))>0, 或者 f'(x) > f(x)/(x-a)
但根据中值定理：
f(x)/(x-a)=（f(x)-f(a)）/(x-a) = f'(t), a<t<x.
f' 单调增加 ===> f'(x) > f'(t). 于是 结论成立。