Question

一道很基础的高等数学证明题

证明这个不等式：|arctan a - arctan b|<=|a-b|

我有标准答案，但看不懂它为什么那么做，也看不懂它的根据是怎样，至于老师讲课更是乱七八糟，请写出过程和思路，谢谢！

Answer 1

拉格朗日中值定理：
如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，使得 f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
题目中： 涉及的函数 y=arctanx 满足中值定理的条件
那么： f(a)-f(b)=f'(ξ)*(a-b) =f'(ξ)(a-b)
arctan a - arctan b=f'(ξ)(a-b)

【备注：关于函数y=arctanx 的求导】
y=arctanx, 那么 x=tany
对X求导： 1=(tany)'·y'=(siny/cosy)'·y'={[(siny)'·cosy-siny·(cosy)']/(cosy)^2} · y'
1=[(cosy)^2+(siny)^2]/(cosy)^2 · y'
1=(1/cosy)^2 · y'
y'=(cosy)^2 将y=arctanx 代入 既为导数 y'=[cos(arctanx)]^2
转换一下：y'=(cosy)^2
=(cosy)^2/[(siny)^2+(cosy)^2]
=1/[(tany)^2+1] 【分子分母同时除(cosy)^2】
将y=arctanx 代入
y'=1/{[tan(arctanx)]^2+1}
=1/(1+x^2)
既y=arctanx 求导： y'=1/(1+x^2)

【回到题目中】： arctan a - arctan b=f'(ξ)(a-b)
那么，：|arctan a - arctan b|=|f'(ξ)|·|a-b|
=1/(1+ξ^2)|a-b| 【1/(1+ξ^2) 恒大于 0】
1/(1+ξ^2) 明显是 ≤ 1 的
因此1/(1+ξ^2)|a-b|≤|a-b|
综上所述：|arctan a - arctan b|<=|a-b|

有什么问题 可以继续追问 ^_^

Answer 2

用中值定理：
令 f(x)=arctan x
则|arctan a - arctan b|=|f(b)-f(a)| = |f'(c)(b-a)|
= 1/(1+c²) · |b-a |
<=|b-a|
上面的c在a和b之间。

Answer 3

关键是微分中值定理
(arctan a - arctan b)/(a-b)=1/1+x2 <1 （x的平方的意识）

Answer 4

alpeak008 同学已经回答的非常好了。