Question

定积分到底是什么？

Answer 1

定积分确切的说是一个数,或者说是关于积分上下限的二元函数,也可以成为二元运算,可以这样理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即为积分运算(可以类比简单的加减运算,只不过这时定义的法则不一样,加减运算是芹搏把二维空间的点映射到一维空间上一个确定的点,定积分也一样,只不过二者的法则不一样);
不定积分也可以看成是一种运算,但最后的结果不是一个数,而是一类函数的集合.
对于可积函数(原函数是初等函数)存在一个非常美妙的公式
∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)
其中F'(x)=f(x)或∫f(x)dx=F(x)+c

最后附上一句,积分这一章难度较大,要学好这一章首先要把微分运算弄得很清楚,同时常用的巧消公式也要记.而且有些定积分是不能通过牛顿-莱布尼茨公式计算的,如∫[0,∞]sinx/xdx=π/2(用留数算的),∫[0,∞]e^(-x^2)dx=√2/2(用二重积分极坐标代换算的),以上两种积分的原函数都不能用初等函数表示,因此也就不能用牛顿-莱布尼茨公式计算,当你不知道这些的时候可能花一年的功夫也没有丝毫进展.我当年就是深有感触的,我是嫌宽祥在高一入学前的暑假自学的微积分,高一的时候遇到一个定积分∫[0,π/2]dx/√(sinx),开始不知道这是一个超越积分,所以高一只要有空余时间我就会计算这个定积分,直到高二学完伽马函数后才计算出其值为(Γ(1/4))^2/(2√(2π)),并由此得出不定积分∫dx/√(sinx)也是超越积分.常见的超越积分还有很多,尤其像那种三角函数带根号的,多半都是超越的,自学时要注意