Question

求教高人求极限问题一个

我在参考书上看到一个解答过程中： lim(lnx-ax) 其中a>0，当x趋于正无穷时，极限是负无穷，不知道是怎么算出负无穷的 向各位求教 谢谢~

Answer 1

当x→+∞时，lnx→+∞ ax→+∞
此题为∞-∞型
原式=lim(lnx-ax)=lim(lnx-lne^(ax))=limlnx/e^ax=lnlimx/e^ax=lnlim1/ae^ax=ln0=-∞

高数没想象的那么复杂，只要找到符合的形式，用特定的解题方法一步即可得出，如果这个问题仅仅是解答过程中的一个部分，想的过多而浪费时间，确实得不偿失了。∞-∞型，不用多想，肯定是加减变乘除，所以此题就用换底公式把ax换成lne^ax，然后用法则求解。

Answer 2

f(x)=lnx-ax
f'(x)=1/x-a;
当x趋于正无穷,
1/x-a<0;
所以当x趋于正无穷，lnx-ax是单调递减的。

并且当x趋于正无穷时，导数值的绝对值也越来越小，
故得出结论，当x趋于正无穷，函数单调递减，并且递减率越来越大，所以说，极限是负无穷

Answer 3

我们用罗密达法则求lim(lnx)/x时，明显当x趋向于正无穷时，分子分母都趋向于正无穷，可以利用罗密达法则，分别对分子分母求导可得：(1/x)/1。所以极限值可以得到是0。这是因为在趋向于正无穷大时，函数lnx和x趋向于正无穷的“速度”不相同，lnx“走”得慢些（参考高数高阶无穷小的比较），总体结果会趋向于走的快的那个部分，结果为0，而不是我们想象中的1。
所以，对你的问题中，因为函数lnx趋向于正无穷的速度没有函数-ax趋向于负无穷的速度快，所以结果会趋向于速度快的那个部分。

Answer 4

ax是lnx的高阶无穷小，即当x去向正无穷时，ax比lnx更快的去向于无穷大，故两者差为负无穷小。

Answer 5

lnx写白了就是logex这是个单调递增的函数，但x必须大于0，所以当x无限接近0时，函数极限是负无穷