Question

概率论中不相关和相互独立有什么区别

Answer 1

独立和不相关从字面上看都有“两个东西没关系”的意思。但两者是有区别的。

结论：
（1）X与Y独立，则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关，则X与Y不一定独立

证明：
（1）由于X与Y独立，所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y)，即X，Y不相关。

（2）反例：
X=cost,Y=sint，其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量。
易得X和Y不相关，因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)

但是他们是不独立的。
因为：
X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值，但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值，所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立。
参考于：http://zhidao.baidu.com/question/127823454.html

Answer 2

不相关是指不线性相关，而独立是指两个随机变量一点关系都没有，也就是说独立一定不相关，而不相关不一定独立。

Answer 3

独立一定不相关，Y不能用X的任何形式表出
不相关不一定独立 ，即不线型相关但Y可用X的其他形式表出

Answer 4

不相关其实是不“线性相关”， 独立就是完全没关系

Answer 5

不相关指两个随机事件之间的关系。

独立指一个随机事件重复多次。