Question

求极限的时候，到底什么情况下加减关系能够用等价无穷小代换？ 看书上不止一个地方在用，但是老师总是说

求极限的时候，到底什么情况下加减关系能够用等价无穷小代换？ 看书上不止一个地方在用，但是老师总是说不能用。

Answer 1

楼上说的是一部分，即使不是出现在分式里，或者是所谓的“不能拆”的情形，只要小心点也是可以用的。
我写过一些用法，你可以去看看，关键是要把原理搞懂，而不是简单地背结论
http://zhidao.baidu.com/question/336737460.html
http://zhidao.baidu.com/question/122716796.html

Answer 2

是这样的，如果加减关系出现在分式的分子，且把分式拆成几个分式相加，拆开后的每一个分式的极限都存在。拆开后的分式里面如果变成了相乘形式，就可以用无穷小代换，其实这是利用了和的极限等于极限的和，只是常常没有把分式拆开，所以造成了在加减关系中用无穷小代换的假象。当然如果拆开以后的分式极限不存在，则不能拆开(极限拆开的定义），则无法用无穷小代换。举个例子如果分式为((sinx)^2+1-(cosx)^2)/x^2,则可以拆成两项，两项都再用无穷小代换（算的是x趋向于0的极限），但如果刚才的例子中的1-(cosx)^2变成1，则不能拆。恩明白了吧
不过楼下的给出了更深入的原因，如果你想了解具体为什么可以点击下他引用的第一个网页