Question

如图,圆O的半径为1,点P是圆O的劣弧AB上一点,弦AB垂直平分半径OP,点D是劣弧AB上任一点

如图,圆O的半径为1,点P是圆O的劣弧AB上一点,弦AB垂直平分半径OP,点D是劣弧AB上任一点（与端点A,B不重和），DE⊥AB于点E，以点D为圆心，DE长为半径作圆D,分别过点A,B作圆D的切线，两条切线相交于点C。
（1）求弦AB的长
（2)判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB大小；否则，请说明理由。
（3）记△ABC的面积为S，若DE平方分之S=4根号3，则△ABC的周长等于------？

Answer 1

解 ;连接OB
OB=1
弦AB垂直平分半径OP,
OF=2分之1
FB=2分之根号3
因为垂径定理
AB=根号3
解因为由(1)得∠FB0=30°(设AB与OP的交点为F),
∠FOB=60°(垂径定理)
同理，∠AOP=60°
连接AP,PB
∠APB=120°
∠APB=∠ADB=120°
以点D为圆心，DE长为半径作圆D,分别过点A,B作圆D的切线
（垂线定理)DA为∠CAB的角平分线，DB为∠CBA的角平分线，
∠ADB=120°
∠DAB+∠DAB=60°
∠CAB+∠CBA=120°
∠ACB=60°
第3个是3分之8根号3
没图，我不知道对不对，只是题目和我们今天的回家作业一样。-.-
给个最佳吧，求求你啊!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

解 ;连接OB
OB=1
弦AB垂直平分半径OP,
OF=2分之1
FB=2分之根号3
因为垂径定理
AB=根号3
解因为由(1)得∠FB0=30°(设AB与OP的交点为F),
∠FOB=60°(垂径定理)
同理，∠AOP=60°
连接AP,PB
∠APB=120°
∠APB=∠ADB=120°
以点D为圆心，DE长为半径作圆D,分别过点A,B作圆D的切线
（垂线定理)DA为∠CAB的角平分线，DB为∠CBA的角平分线，
∠ADB=120°
∠DAB+∠DAB=60°
∠CAB+∠CBA=120°
∠ACB=60°
第3个是3分之8根号3
没图，我不知道对不对，只是题目和我们今天的回家作业一样。-.-

Answer 3

(1)连接OA.OB
∵OP,AO,OB为半径
所以PO=AO=OP=1
又AB为OP中垂线
所以PF=FO=1/2
AF=√3/2
AB=2AF=根号三
（2）连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，
∴OM= 12OB=0.5，
∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，
∴∠DAB+∠DBA= 12（∠CAB+∠CBA）=60°，
∴∠ACB的度数为60°，
故答案为：60°；

（3)∵OM= 12OB=0.5，
∴BM= 32，AB= 3，
∵AE=AN，BE=BQ，
∴△ABC的面积为S= 12（AB+AN+CN+BC）×DE= 12（2 3+2CN）×DE，
∵△ABC的面积为S， SDE2=4 3，
∴ 12(23+2CN)×DE，DE2=4 3，
∵DE=DN= 12CD，
∴CN= 3DE，
∴ 23+23DE2DE=43，
解得：DE= 13，
则⊙D的半径为： 13，
故答案为： 13．

Answer 4

分析：（第一题太简单就免了吧）①根据切线的判定定理得出AB与⊙D相切于E点，进而得出⊙D是△ABC的内切圆，根据OM= OB=0.5，得出∠MOB=60°，进而得出
∠ACB的度数；
②根据S△ABC=S△ADC+S△ADB+S△BDC，得出△ABC的面积为S= （AB+AN+CN+BC）×DE，由切线长定理以及DE=DN= CD，
得出CN= DE，再利用已知求出⊙D的半径．
解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．

∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝0.5，OP＝0.5，AF＝BF．

在Rt△OAF中，∵AF＝根号OA²-OF²＝2分之根号3，

∴AB＝2AF＝根号3．

（2）∠ACB是定值.理由如下：

由（1）易知，∠AOB＝120°，

因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，

则∠CAB＝2∠DAB，∠CBA＝2∠DBA，

∴∠DAB ﹢ ∠DBA＝﹙∠CAB + ∠CBA﹚。

又因为∠DAB＋∠DBA＝∠AOB＝60°，

所以∠CAB＋∠CBA＝120°，

所以∠ACB＝180°- ﹙CAB＋∠CBA﹚ = 60°；

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.

∴＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE＝l•DE．

∵＝4， ∴＝4， ∴l＝8DE.

∵CG，CH是⊙D的切线， ∴∠GCD＝∠ACB＝30°，

∴在Rt△CGD中，CD ＝ 2 GD

∴ CG＝DG＝DE， ∴CH＝CG＝DE．

又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，

∴l＝AB＋BC＋AC＝2＋2DE＝8DE，

解得DE＝，

∴△ABC的周长为．

有些没显示出来数据，请打开http://czsx.cooco.net.cn/testdetail/45054/

Answer 5

2.连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，
∴OM= OB=0.5，
∴∠MOB=60°，同理可得：∠AOB=120°，
∴∠DAB+∠DBA= （∠CAB+∠CBA）=60°，
∴∠ACB的度数为60°，
故答案为：60°；