Question

matlab解二阶非线性微分方程（难点方程中带有积分）高手请来

clear all;
close all;
clc
a1=5*10^(-6);
a2=200*10^(-6);
a3=250*10^(-6);
b=350*10^(-6);
d=12*10^(-6);
h=10*10^(-6);
ro=2323;
M=pi*ro*a3^2*h;
I=1/4*M*a3^2;
B=3.53*10e-14;
K=2.09*10^(-8);
e0=8.85*10^(-12);
alpham=d/a3;
beta=a2/a3;
galm=a1/a3;
T=0.005;
TimeSet=[0,T];
x0=[0.00001;0.0001];
syms w;
f=@(t,x,volt)[x(2);-(B/I)*x(2)-(K/I)*x(1)+e0*volt^2/(2*I)*int(w*sqrt(a2^2-w^2)/(d-w*x(1))^2,w,a1,a2)];
volt=26;
[t1,y1]=ode45(f,TimeSet,x0,[],volt);
plot(t1*1000,y1(:,1)*180/pi,'r');

Answer 1

MATLAB提供了两种方法解决PDE问题：
一是pdepe()函数，它可以求解一般的PDEs，据用较大的通用性，但只支持命令行形式调用。
二是PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，PDEtool有较大的局限性，比如只能求解二阶PDE问题，并且不能解决偏微分方程组，但是它提供了GUI界面，从繁杂的编程中解脱出来了，同时还可以通过File->Save As直接生成M代码

MATLAB语言提供了pdepe()函数，可以直接求解一般偏微分方程(组)，它的调用格式为

sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)

【输入参数】
@pdefun：是PDE的问题描述函数，它必须换成下面的标准形式

这样，PDE就可以编写下面的入口函数
[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)
m,x,t就是对应于(式1)中相关参数，du是u的一阶导数，由给定的输入变量即可表示出出c,f,s这三个函数

@pdebc：是PDE的边界条件描述函数，必须先化为下面的形式

于是边值条件可以编写下面函数描述为
[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)
其中a表示下边界，b表示下边界

@pdeic：是PDE的初值条件，必须化为下面的形式

股我们使用下面的简单的函数来描述为
u0=pdeic(x)

m,x,t：就是对应于(式1)中相关参数

【输出参数】
sol：是一个三维数组，sol(:,:,i)表示ui的解，换句话说uk对应x(i)和t(j)时的解为sol(i,j,k)

通过sol，我们可以使用pdeval()直接计算某个点的函数值

追问

那个PDEtool 在那找呢？我还没用过，应该不是在simulink里面吧？

Answer 2

这里不能直接在函数中用Int，你把积分项单独作为一个状态量。x(3)，它的导数就是你这int(w*sqrt(a2^2-w^2)括号里的东西。
等于多了一个微分方程。这是最简单的方法。
你如果还不会我再给你把这个程序写出来。

追问

可这里的积分是对W积分的，而求导是对t求导的，这样能消掉嘛？

追答

可以。你试一试。
增加了一个变量，将你希望的也求出来了。没问题。

追问

可我还是不太明白啊，这个微分方程式关于t的微分方程，而积分是对w积分这怎么能消掉呢。你说可以的，可我不知道怎么做呢，麻烦大侠帮忙了