Question

线性代数求证，a是n级正定矩阵，证明对任意正整数k，a的k次方是正定矩阵

Answer 1

最直接的做法是证明特征值大于0

如果想用正定的定义做也可以

对任何非零向量x

当k=2n时x^TA^kx=(A^nx)^T(A^nx)>0

当k=2n+1时x^TA^kx=(A^nx)^TA(A^nx)>0

因为A对称，所以存在正交矩阵T,使得T^(-1)AT=B，矩阵B是对角矩阵，且对角线上是特征值，因为A=TBT^(-1)，所以两边的k次方等于A^(k)=T*B^(k)*T(-1)，因为矩阵A正定，所以B对角线全大于0，所以B的k次方也是全大于0的，所以还是正定，所以A的k次方也是正定的。

扩展资料：

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

参考资料来源：百度百科-线性代数