Question

如何判断函数的单调性

Answer 1

判断函数单调性的常见方法
一、 函数单调性的定义：
一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I↔A，如对于区间内任意两个值X1、X2，
1）、当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为函数的单调增区间；
2）、当X1>X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为函数的单调减区间。
二、 常见方法： Ⅰ、定义法：
定义域判断函数单调性的步骤 ① 取值：
在函数定义域的某一子区间I内任取两个不等变量X1、X2，可设X1<X2; ② 作差（或商）变形：
作差f(X1)-f(X2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差的符号的方向变形； ③ 定号：
确定差f(X1)-f(X2)的符号； ④ 判断：
根据定义得出结论。

Answer 2

例如计算y=ln[2x+√(10x^2+52)]的单调性：

                                   

因为y=ln[2x+√(10x^2+52)]，对x求导有：

所以dy/dx=[2+10x/√(10x^2+52)]/ [2x+√(10x^2+52)]

=[2√(10x^2+52)+10x]/{√(10x^2+52)*[2x+√(10x^2+52)]}

令2√(10x^2+52)+10x=0，则x=-6√195/15≈-1.862。

此时函数的单调性及单调区间如下：

(1)    当x∈(-∞，-6√195/15)时，dy/dx<0，此时函数为减函数；

(2)    当x∈[-6√195/15，+∞)时，dy/dx＞0，此时函数为增函数。