Question

如图，若圆O1、圆O2外切于点A，BC是圆O1、圆O2的公切线

如图，若圆O1、圆O2外切于点A，BC是圆O1、圆O2的公切线，B、C为切点，BC与O2O1的延长相交于D，过D引BC的垂线，交BA及AC的延长线于MN，求证：
1、MD=ND
2、2MD^2=MA*NB

Answer 1

证明：

1、

连接CE

因为两个圆外切，BC是它们的外公切线

所以切点三角形ABC是直角三角形

所以∠EAC＝90度

所以CE是圆O2的直径

所以CE过O2，O2C＝O2E

因为C是切点

所以EC⊥BD

而O1B⊥BD，MN⊥BD

所以MN∥EC

所以O2C/MD＝AO2/AD，O2E/ND＝AO2/AD

所以O2C/MD＝O2E/ND

所以MD＝ND

2、

所要证明的2MD^2=MA*NB是错误的结论

理由：

显然△ANM∽△DNB

所以MA/BD＝MN/NB

所以MA*NB＝MN*BD

如果有2MD^2=MA*NB成立

则有MN*BD＝2MD^2

而MN＝2MD

所以就有BD＝MD＝ND

三角形BND必须是等腰直角三角形

这是本题中不具备的条件

请检查一下问题是否打错字母了，补充或追问

（如图是用几何画板做出的图形，也说明2MD^2与MA*NB是不相等的，几何画板的精确度是不需怀疑的）

江苏吴云超解答  供参考！

Answer 2

已知钝角三角形ABC的外接圆（角C为钝角），做弦AC的垂线，与圆交于MN两点，过M做AB的垂线交于点D,

Answer 3

第二问应该把MA改成NA才对。