Question

如图，PA为圆O的切线，A为切点，PBC为割线，∠APC的平分线交AB于点E，交AC于点F，点M为弧BC 的中点

求证：AM⊥PF 急急 在线等

Answer 1

设AM与FP相交于点D，AM与CP相交于点I

因为AP是切线
所以角PAB=角ACP
因为点M为弧BC的中点
所以角CAM=角MAB
所以角PAB+角MAB=角ACP+角CAM
因为角PAB+角MAB=角PAM；角ACP+角CAM=角AIP
所以角PAM=角AIP
因为PF是角APB的角分线
所以三角型ADP全等于三角型PDI
所以角ADP=角PDI
因为角ADP=角PDI互余
所以角ADP=角PDI=直角
所以AM垂直PF

Answer 2

证明:PA与圆相切于A,则:∠PAE=∠C;又∠APE=∠CPF.
故∠PAE+∠APE=∠C+∠CPF,即∠AEF=∠AFE.(三角形外角的性质),得:AE=AF.
又弧BM=弧CM,∠BAM=∠CAM.
所以,AM⊥PF.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高)

注:第一步是弦切角的性质,若你没学过,不妨换个方法证明一下∠PAE=∠ACP:
连接AO并延长,交圆O于N,连接CN.AN为直径,则∠ACN=90度,又∠BAN=∠BCN.则∠PAE=∠ACP(等角的余角相等).(下略)

Answer 3

图呢？