Question

设函数y=f（x）定义域为R，当x>0时f(x)>1,且对于任意的x,y∈R有f（x+y）=f（x）·f（y）成立

（1)求证：对于任意x属于R，恒有f（x）大于0
R，恒有f（x）大于0
（2）证明：f（x）在R上是单调递增函数
（3）解不等式f（x）小于1/f（x+1）

Answer 1

(1) y=0时 f(x)=f(x)*f(0)
所以f(0)=1
当y=-x 且x>0时
f(x)>1>0
f(0)=f(x)*f(-x)=1
所以f(-x)>0
即x<0时 f(x)>0
综上：对于任意x属于R，恒有f（x）大于0
(2) 设有x2>x1
取x2=x+y x1=x
则y=x2-x1>0 f(x2-x1)>1
故f(x2)=f(x1)*f(x2-x1)>f(x1)
所以f(x)是单调递增函数
(3) f（x）小于1/f（x+1）
由(1)知f(x+1)>0
所以f(x)*f(x+1)<1
即f(x²+x)<1=f(0)
所以x²+x<0
解得-1<x<0

Answer 2

1)f(x)=[(x/2)]^2>0
2)设y=x+α(α>0)，有f(y)/f(x)=f(α)>1，得证。
3)f(x)<1/f(x+1)，即f(x)*f(x+1)=f(2x+1)<1=f(0)，则x<-1/2

Answer 3

(1)令y=0，f(x)=f(x)f(0) ，得f(0)=1 设x>0，则-x<0 f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1因为f(x)>1，故f(-x)>0即对于任意x∈R，恒有f(x)>0 (2)设x1>x2，则f(x1-x2)=f(x1)f(-x2)>1，即f(x1)/f(x2)>1，f(x1)>f(x2),f（x）在R上是单调递增函数 (3)由f(x)<1/f(x+1)得f(x)f(x+1)=f(2x+1)<1=f(0)，故2x+1<0，得x<-1/2

Answer 4

不知道