Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=,x有等根．

1求f(x)解析式
2求f(X)的值域
3是否存在实数m，n(m<n)，使其的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n].若存在，求出m,n的值：若不存在说明理由

Answer 1

由f(2)=0=4a+2b
及f(x)=x--> ax^2+(b-1)x=0, 有等根，即delta=(b-1)^2=0-->b=1
解得a=-1/2
1. f(x)=-x^2/2+x
2. f(x)=-1/2 (x^2-2x)=-1/2(x-1)^2+1/2
值域为 f(x)<=1/2
3.最大值在f(1)=1/2
a)若定义域包含有x=1, 即m=<1<=n, 则其最大值为 1/2=4n--> n=1/8, 不符。
b))若定义域在对称轴右边，即n>m>1, 则有最小值及最大值：
4m=f(n)=-n^2/2+n
4n=f(m)=-m^2/2+m
两式相减4(m-n)=(m^2-n^2)/2+n-m--->4=(m+n)/2-1-->m+n=10
代入原式：4(10-n)=-n^2/2+n,--> n^2-10n+80=0, 无实根
c)若定义域在对称轴左边，即m<n<1, 则有最小值及最大值：
4m=f(m)=-m^2/2+m---> m=0, -6
4n=f(n)=-n^2/2+n--> n=0, -6
因此只能取为：m=-6, n=0, 满足条件。