Question

定积分有什么好方法计算？

Answer 1

定积分没有乘除法则，多数用换元积分法和分部积分法。
换元积分法就是对复合函数使用的：
设y = f(u)，u = g(x)
∫ f[g(x)]g'(x) dx = ∫ f(u) du
换元积分法有分第一换元积分法：设u = h(x)，du = h'(x) dx
和第二换元积分法：即用三角函数化简，设x = sinθ、x = tanθ及x = secθ
还有将三角函数的积分化为有理函数的积分的换元法：
设u = tan(x/2)，dx = 2/(1 + u²) du，sinx = 2u/(1 + u²)，cosx = (1 - u²)/(1 + u²)
分部积分法多数对有乘积关系的函数使用的：
∫ uv' dx
= ∫ udv
= uv - ∫ vdu
= uv - ∫ vu' du
其中函数v比函数u简单，籍此简化u。是由导数的乘法则(uv)' = uv' + vu'推导过来的。
有时候v' = 1的，例如求∫ lnx dx、∫ ln(1 + x) dx等等。
还有个有理积分法：将一个大分数分裂为几个小分数。
例如1/(x² + 3x + 2) = 1/((x + 1)(x + 2)) = 1/(x + 1) - 1/(x + 2)