Question

两向量组向量个数相同 ，且都线性无关 ，且一个可由另一个表出，那么这两个向量等价吗？

两向量组向量个数相同 ，且都线性无关 ，且一个可由另一个表出，那么这两个向量等价吗？

Answer 1

等价.

证明: 设A组可由B组线性表示, 由已知得 r(A)=r(B)
则 r(B,A) = r(B)
所以 r(A,B) = r(B) = r(A),
所以 B组 可由 A组 线性表示
故A组,B组等价.

Answer 2

证明: 设A组可由B组线性表示, 由已知得 r(A)=r(B)
则 r(B,A) = r(B)
所以 r(A,B) = r(B) = r(A),
所以 B组 可由 A组 线性表示
故A组,B组等价.

Answer 3

线性无关，故有R(A)=R(B)
假设A能被B表示，则有R(B)=R(B,A),所以有R(A)=R(B,A)
所以两个向量可以互相表示，故他们是等价的