Question

在Rt△ABC中 ∠ABC=90 以AB为直径做圆O交AC于点D E是BC中点 连接DE 求证DE是圆O的切线

Answer 1

证明：
连接BD
∵AB是直径
∴∠ADB=90º【直径所对的圆周角是直角】
∴∠BDC=90º
∵E是BC的中点，则DE是Rt⊿BDC斜边的中线
∴DE=½BC=BE
连接OE
∵OB=OD，DE=BE，OE=OE
∴⊿OBE≌⊿ODE（SSS）
∴∠ODE=∠OBE（∠ABC）=90º
∴DE是圆O的切线【垂直于半径外端的直线是圆的切线】

Answer 2

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD，
同理在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠OAD=∠CBD，
∴∠ODA=∠EBD，
又∵∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠EBD+∠ODB=90°，
即∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．