什么是函数在某点连续?

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暴躁的鹤h
高粉答主

2022-09-25 · 每个回答都超有意思的
知道小有建树答主
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确切说来,函数在某点连续是指:当自变量趋于该点时,函数值的极限与函数在该点所取的值一致。

函数的连续性,描述函数的一种连绵不断变化的状态,即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。

连续函数的性质:   

① 如f(x)、g(x)都在x=α处连续,则f(x)±g(x),f(x)g(x), (只要 g( α)≠0)也在 x= α处 连续。  

② 如f(x)在x=α处连续,且f(α)≠0,则必在x=α的某一小δ邻域(即|x-α|<δ)中,f(x)不变号,即f(x)与f(α)同号。   

③ 在闭区间上的连续函数,必有上界和下界,且有最大值和最小值,并能取最小值和最大值之间的一切中间值。

扩展资料:  

还可证明,所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。   

设I为一闭或开的区间,如果任给ε>0,必有δ>0存在,使对I中任何两点x,x′,只要|x-x′|<δ,便有|f(x)-f(x′)|<ε,则称f(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理:在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理

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